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十字交乘法(Cross-product method)

目錄

前言

在教導十字交乘法之前,學生應先具備因數與倍數相乘之概念,且對於加減乘除之運算能有效掌握,避免其於十字交乘
法中粗心算錯。另外十字交乘法的教學時機通常在二次方程式中,需要解x的兩個相異解時,因此可介紹此種有效率的快
速解法,以供學生做練習。

教學步驟

認識係數

首先在可透過代號的方式,來探討各系數與因式之間的關係,舉例而言(X+A)(X+B)=X2+
(A+B)X+AB,從上述式子可了解到當X的解為-A與-B時,其因式可寫成(X+A)(X+B),因此展開後則可寫成
X2+(A+B)X+AB,如此一來,如果要反向求得其解時,則可運用接下來介紹之十字交乘法。

反向求解

利用上述的係數關係X2+(A+B)X+AB,可看出一次項之係數為因式中的A與B相加,而常數項則為A與
B相乘,透過此式子,可發項特殊之現象,即為一次項為兩相異解之相加,而常數項則為兩相異解之相乘。因此而發展出
十字交乘法之運用,即將二次項的係數拆成兩數相乘放於左邊,將常數項之係數也拆成想數相乘放於右邊,因此左上方與
右下方之數字做相乘,而左下方與右上方之數字做相乘,而此兩者相乘之數字做相加後須等於一次項之係數,如相符時,
則代表求得其倆因式相乘。而上述的求解方式中之圖形類似於十字,因此則稱為十字交乘法。

舉例演練

舉例而言,當方程式為X2+6X-7時,左邊上下則分別擺放1與1,右邊則可擺放1與-7或者-1與7,但
因不知是何者為對,因此需皆作試算,假設試算1與-7時,當十字相乘時可得到1*1+1*(-7),因此得到結果為-6,並不
符合一次項之係數6,因此推得此並非因式,進而演算另一種可能-1與7之組合,其十字交乘後為1*(-1)+1*7,此結果
為6,恰好符合一次項之係數6,因此即找到此方程式之因式分解為(X-1)(X+7)。

(註1)

關鍵字

中文關鍵字:十字交乘法
英文關鍵字:Cross-product method

參考資料

註1李嘉淦/著。中學數學科教材教法,1986年初版,頁366~371。千華出版公司。

相關教學資源請參考數位教學資源入口網https://isp.moe.edu.tw/resources/search_content.jsp?rno=1647107