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度求法

梁的撓度求法有許多種,最主要的方法有(1)二次積分法(Double Integration Method)(2)共軛梁法(Conjugate Beam Method)(3)面積力矩法(Moment Area Method)(4)疊加法(Superposition Method) 。然(1)(2)兩法,算法費時且涉及較深數學原理,不適於高工講述,故本節僅以(3)(4)兩法詳加討論。

面積力矩法

面積力矩法(簡稱面矩法)係利用梁內M/EI的變化關係圖,以求出梁上某些特定點的撓角與撓度。其所採用原理係根據下列導出的兩個定理加以應用。

如圖19-2(a)所示,為梁承受任意載重後,在梁中任取一段AB的彈性曲線,並將此曲線的M/EI變化關係圖表示如圖(b)所示。其中M為梁在各截面的彎曲力矩,而F工為梁的抗撓剛度;如果梁的抗撓剛度為常數(即梁之材質均勻且截面均相同時),M1E上的變化圖與梁的彎矩圖相同,僅是縱座標的比例與單位不同。

今在AB曲線間取相距△S之兩鄰截面mn,而△θ為兩截面彎曲的交角,ρ為其曲率半徑,則

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

19-2面積力矩法

 

可知,

因一般梁的曲率甚小, 是以, ……………….(公式19-1

放在AB曲線上,A點及B點約兩切線所夾的角度 應為

…………………………………………………...(公式19-2

式中 ,及c,即表示Ah點的撓角, AB點間M/EI曲線下之面積。

因此,可得面積力矩第一定理(First Moment-area theorem)如下:

『曲線上任意兩點切線所夾的角度,等於該兩點間M/EI曲線下的面積。』

;亦即

A點的切線為水平時(或與梁成平行者),則B點的切線與A點的切1線所夾的角度,即B點的撓角 。』

其次,圖19-2(a)中,在AB曲線上相距smn兩點所劃的切線,與過B點的垂線相交截出一長為△δ的線段。由於m點的撓角甚小,且mn兩點切線所夾的撓角△θ亦甚小,故可將△δ視為相當於以 為半徑,△θ為圓心角所對的弧長,即

   

將上式代入(公式19-1)可得

  ……………………………………………………(公式19-3

故可得力點垂線與A點切線的交點B'b點之距離,方可稱為B點至A點切線撓度OB/A,則

   

        

 

   ………………………………………………(公式19-4

式中, AB點間,M/EI曲線下之面積的形心至B點間之距離; 則為該面積對B點垂線的一次矩(面積力矩)

是以,又得面積力矩第二定理如下:

『彈性曲線上,B點對於A點之切線問的垂直位移(撓度),等於該兩點間M/EI曲線下之面積,對B點垂線之一次距(面積力矩)。』

亦即;

『如A點之切線為水平時(或與梁成平行者),則B點對A點之切線撓度,即B點的撓度 。』

另外,需注意 所表示之繞度不一定是相等的, 為彈性曲線上,A點至B點切線間之垂直位移(撓度);而 則為B點至A點切線間之垂直距離(撓度)

上述面積力矩第一定理,乃是用以定出彈性曲線上,AB兩點之切線來角 ,故B點的撓角 (亦即B點切線與水平方向的來角),需在A點撓角已知時方可求得。至於面積力矩第二定理,可決定彈性曲線上一點之垂線,與另一點切線交點之距離,故亦需在A點之切線已知時,方可由 定出B點的撓度 。因此,只要已知彈性曲線上某一點之切線,即可令此點之切線為參考切線(reference tangent),而運用上述兩個定理求得各點之撓角及撓度。

以面積力炬法求撓角及撓度的步驟如下:

(1)依梁承受載垂之圖例,畫出彈性曲線圖。

(2)畫出梁的彎矩圖。

(3)將彎矩圖轉換,畫出M/EI圖。如梁之EI為一常數,則(2)(3)步驟可合併畫出。

(4)選擇彈性曲線上的參考切線,並畫出其切線。應選已知切線之撓角為零者,如切於固定端的切線或承受對稱載重梁的中點切線。若仍無法判定時,通常可畫一切於支點的切線以代之。

(5)應用 ,求夾角

(6)應問 ,求撓度

(7)利用幾何關係,轉求指定點的撓角或撓度。

疊加法

當梁同時承受數個載重時,欲求梁上某一點的撓角與撓度,可先考慮每一單獨載重在該點所生之撓角與撓度,則數個載重同時作用時,梁上在該點之撓角與撓度,等於各單獨載重在該點所生之撓角與撓度的總和,此法稱為疊加法。

如圖19-7(a)所示之梁同時承受兩集中載重 ,則梁上任一點C之撓度δc,等於 單獨作用時在C點所生撓度的總和,即 ,如圖(b)所示。

在運用疊加法解題時,一些常用的求撓角與撓度公式最好記牢,如此才能在計算中節省時間,如[1][4]之結果就應熟記。亦可參考附錄三之常用梁的撓角與撓度公式。