符號

ball.gif (1875 bytes)符號

一. 集合的表示法常用大寫字母A,B,C,......表示,元素的表示法常用小寫字母X,Y,Z,....表示

二. 元素與集合之間以"belong.gif (54 bytes)"及"belong2.gif (61 bytes)"表示
     1.元素x在集合A中時記為"xbelong.gif (54 bytes)A"讀作"x屬於A"意思是"x是A的一個元素"
     2.元素不在集合A中時, 記為"xbelong2.gif (61 bytes)A"讀作"x不屬於A",意思是"x不是A的元素"

三. 集合與集合之間的符號:

set1.gif (399 bytes)xbelong.gif (54 bytes)A set2.gif (394 bytes)xbelong2.gif (61 bytes)A

 

circle.gif (79 bytes)子集合或部份集合

 
    集合A中的每一個元素都屬於B時, 稱A 是B的部份集合,以 Abelong3.gif (56 bytes)B 或Bbelong4.gif (56 bytes)A表示, 讀作A包含於B 或B 包含A

set3.gif (492 bytes)Abelong3.gif (56 bytes)B 或Bbelong4.gif (56 bytes)A

意思是: A 集合含有的元素, B集合也一定有
                但是B集合有的元素, A集合不一定會有
Ⅰ.Abelong3.gif (56 bytes)A 或Abelong4.gif (56 bytes)A成立
Ⅱ.Abelong4.gif (56 bytes)B且Bbelong4.gif (56 bytes)A時, 稱為A,B兩集合相等, 記為A=B
Ⅲ.Abelong3.gif (56 bytes)B 且Bbelong3.gif (56 bytes)C時, Abelong3.gif (56 bytes)C 一定成立
Ⅳ.數系: Nbelong3.gif (56 bytes)Zbelong3.gif (56 bytes)Qbelong3.gif (56 bytes)Rbelong3.gif (56 bytes)C
Ⅴ.規定空集合empty.gif (62 bytes)
  為任意集合A的子集
Ⅵ.集合A中有一元素x (xbelong.gif (54 bytes)A),但集合B中沒有這個元素(即xbelong2.gif (61 bytes)B)則Abelong5.gif (63 bytes)B

例1. A={1,2,3},B={1,2,3,4},則Abelong3.gif (56 bytes)B 或Bbelong4.gif (56 bytes)A
       empty.gif (62 bytes) belong3.gif (56 bytes)AAbelong3.gif (56 bytes)B,Bbelong5.gif (63 bytes)A
例2. A={1,2,3}則A的子集合有empty.gif (62 bytes) ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},
       {2,3},{1,2,3}共8個,一般情形:集合A中有n個元素時,集合A的子集合共有count1.gif (71 bytes)

隨堂練習:
1. 設A是所有四邊形所成的集合
        B是所有平行四邊形所成的集合
        C是所有梯形所成的集合
        D是所有長方形( 矩形 )所成的集合
        E是所有正方形所成的集合
    指出上列五集合A,B,C,D,E中何者為何者的子集

2. 設A={1,2,3,4,5},B={x,x+1,y,y+1}
    當Bbelong3.gif (56 bytes)A時,求x,y的值 (有12組)

3. 設A={-2,-1,0,1,2},B={-1,1}
    另有一集合C滿足Abelong4.gif (56 bytes)Cbelong4.gif (56 bytes)B,此種集合有幾個?
                                                                         ( ans:8個 )

circle.gif (79 bytes)聯集

     A,B是兩個集合,如果將A和B中所有的元素集中起來做一個新集合,就是A和B的聯集。以記號"Abelong6.gif (59 bytes)B"表示, 即Abelong6.gif (59 bytes)B={x | xbelong.gif (54 bytes)A或xbelong.gif (54 bytes)B}

set4.gif (624 bytes)藍色部份便是Abelong6.gif (59 bytes)B

例 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}
     則Abelong6.gif (59 bytes)B={1,2,3,4,6,8}
    ( 當然Abelong6.gif (59 bytes)B={1,2,3,4,2,4,6,8}也可以 )

Ⅰ.對任意集合A, B,Abelong3.gif (56 bytes) (Abelong6.gif (59 bytes)B),Bbelong3.gif (56 bytes) (Abelong6.gif (59 bytes)B)
Ⅱ.A
belong3.gif (56 bytes)B 時,Abelong6.gif (59 bytes)B=B
Ⅲ.empty.gif (62 bytes) belong6.gif (59 bytes)A=A
Ⅳ.Abelong6.gif (59 bytes)B=Bbelong6.gif (59 bytes) A
Ⅴ.(Abelong6.gif (59 bytes)B)belong6.gif (59 bytes)C=Abelong6.gif (59 bytes)(Bbelong6.gif (59 bytes)C)也可以記為Abelong6.gif (59 bytes)Bbelong6.gif (59 bytes)C

隨堂練習:

1. A=[1,5],B=[3,7)是兩個區間,則Abelong6.gif (59 bytes)B=?
2. 設Abelong6.gif (59 bytes)B=A,證明:Bbelong3.gif (56 bytes)A
3. 在坐標平面上, x軸上每一點均為( x,0 ) 的型式,即x={ (x,y)| x belong.gif (411 bytes)R,y=0}表x軸,同理y={ (x,y) | x=0,ybelong.gif (411 bytes)R}表y軸。求方程式 xy=0 所表示的圖形
    A={ (x,y) | xy=0 }與x軸,y軸的關係

 

circle.gif (79 bytes)交集

A,B是兩集合,如果將A和B中所有共同的元素集中起來做一個新集合,就是A和B兩集合的交集。以記號" Abelong7.gif (59 bytes)B "表示,即Abelong7.gif (59 bytes)B={x | xbelong.gif (411 bytes)A且xbelong.gif (411 bytes)B}

set5.gif (537 bytes)藍色部份便是Abelong7.gif (59 bytes)B

例:A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}則Abelong7.gif (59 bytes)B={2,4}

Ⅰ.對任意集合A,B,(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong3.gif (56 bytes)Abelong3.gif (56 bytes)(Abelong6.gif (59 bytes)B),(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong3.gif (56 bytes)Bbelong3.gif (56 bytes)(Abelong6.gif (59 bytes)B)
Ⅱ.Abelong3.gif (56 bytes)B時,Abelong7.gif (59 bytes)B=A
Ⅲ.empty.gif (62 bytes)belong7.gif (59 bytes)A=empty.gif (62 bytes)
Ⅳ.如果A,B沒有共同元素時,Abelong7.gif (59 bytes)B=empty.gif (62 bytes)
Ⅴ.Abelong7.gif (59 bytes)B=Bbelong7.gif (59 bytes)A
Ⅵ.(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong7.gif (59 bytes)C=Abelong7.gif (59 bytes)(Bbelong7.gif (59 bytes)C)也可記為Abelong7.gif (59 bytes)Bbelong7.gif (59 bytes)C
Ⅶ.在實數中a(b+c)=(ab)+(ac)  分配律
在集合中也有類似性質:
                                Abelong6.gif (59 bytes)(Bbelong7.gif (59 bytes)C)=(Abelong6.gif (59 bytes)B)belong7.gif (59 bytes)(Abelong6.gif (59 bytes)C)
                                Abelong7.gif (59 bytes)(Bbelong6.gif (59 bytes)C)=(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong6.gif (59 bytes)(Abelong7.gif (59 bytes)C)

隨堂練習:
1. A={ (x,y) | 2x+3y=21 },B={ (x,y) | 8x-y=19},求Abelong7.gif (59 bytes)B?
                                                                             ANS:{ ( 3,5 ) }
2. Image5.gif (317 bytes)
    Image3.gif (378 bytes)Image2.gif (208 bytes)
                                                    ANS:Image1.gif (352 bytes)
3.已知 Abelong4.gif (56 bytes)Bbelong4.gif (56 bytes)C
   化簡1. Abelong7.gif (59 bytes)Bbelong7.gif (59 bytes)C                       ANS:1. C
           2. Abelong6.gif (59 bytes)Bbelong6.gif (59 bytes)C                                   2. A
           3. ( Abelong7.gif (59 bytes)B )belong6.gif (59 bytes)C                              3. B
           4. ( Abelong6.gif (59 bytes)B )belong7.gif (59 bytes)C                              4. C
           5. Abelong6.gif (59 bytes)( Bbelong7.gif (59 bytes)C )                              5. A
           6. Abelong7.gif (59 bytes)( Bbelong6.gif (59 bytes)C )                              6. B

circle.gif (79 bytes)差集

 

設A={ x | x 滿足條件 P }
    B={ x | x 滿足條件 Q}
    如果要表示A中不具備條件Q的所有元素所成的集合就以A-B表示, 稱為A與B的差集。即A-B={ x | xbelong.gif (411 bytes)A且xbelong2.gif (418 bytes)B }

set6.gif (496 bytes)藍色部份即為A-B

例1. A表示全班同學所成的集合,B表示全班戴眼鏡的同學所成的集合     那麼全班沒戴眼鏡的同學所成的集合便是A-B,又B-A代表什麼樣的集合?當然是empty.gif (62 bytes)
例2. A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7,9}
        則A-B={2,4},B-A={7,9},A-A=B-B=empty.gif (62 bytes)

Ⅰ. A-B ≠B-A SET7.gif (970 bytes)
Ⅱ. A=(A-B)belong6.gif (59 bytes)( Abelong7.gif (59 bytes)B ) SET8.gif (819 bytes)
Ⅲ. (A-B)belong7.gif (59 bytes)( Abelong7.gif (59 bytes)B ) =empty.gif (62 bytes)

Ⅳ.  Abelong6.gif (59 bytes)B= (A-B)belong6.gif (59 bytes)( Abelong7.gif (59 bytes)B )belong6.gif (59 bytes)(B-A)

SET9.gif (872 bytes)

即是(Abelong6.gif (59 bytes)B)-( Abelong7.gif (59 bytes)B )=(A-B)belong6.gif (59 bytes)(B-A)

Ⅴ. 笛摩根( De Morgan )定理
      A-(Bbelong6.gif (59 bytes)C)=(A-B)belong7.gif (59 bytes)(A-C)
      A-(Bbelong7.gif (59 bytes)C)=(A-B)belong6.gif (59 bytes)(A-C)

SET10.gif (410 bytes) SET11.gif (289 bytes) belong7.gif (59 bytes) SET12.gif (282 bytes) SET10.gif (410 bytes)
A-(Bbelong6.gif (59 bytes)C) A-B A-C (A-B)belong7.gif (59 bytes)(A-C)

 

SET14.gif (392 bytes) SET11.gif (289 bytes) belong7.gif (59 bytes) SET12.gif (282 bytes) SET15.gif (392 bytes)
A-(Bbelong7.gif (59 bytes)C) A-B A-C (A-B)belong6.gif (59 bytes)(A-C)

隨堂練習:

    1. Z是所有整數所成的集合,令A={ 2n | nbelong.gif (411 bytes)Z }
        則Z-A=?                             ANS:Z-A={ 2n+1 | nbelong.gif (411 bytes)Z }
    2. R是所有實數所成的集合
        Q是所有有理數所成的集合
        則R-Q=?
                                             ANS:所有無理數所成的集合
    3. 有兩區間A=[ 0,π ],B=[2,4]
        則A-B=?            ANS:〔0,2 )
    4. 設A,B,C是三個集合且Abelong4.gif (56 bytes)Bbelong4.gif (56 bytes)C
        則 (1)B-A=?         ANS:(1)empty.gif (62 bytes)
             (2)(B-A)-C=?             (2)empty.gif (62 bytes)

circle.gif (79 bytes)宇集和補集(餘集)

當討論一個問題時,這個問題涉及某一範圍,那麼這個範圍所成的集合就叫做宇集,以記號U表示

例1. 討論奇偶數的問題時,宇集是整數集合Z,即此時U=Z
例2. 討論一平面上的直線,三角形,四邊形,圓及其他曲線時,這一平面上所有的點所成的集合就是宇集

        如果A是宇集U的一個子集,我們稱U-A為A的補集,又可稱為A的餘集,以符號Ac或A'或count4.gif (69 bytes)表示, 即
            Ac = A' = count4.gif (69 bytes)= { x | xbelong.gif (411 bytes)U且xbelong2.gif (418 bytes)A }
           SET16.gif (686 bytes)U       白色部份就是Ac或A'或count4.gif (69 bytes)
例3. U={1,2,3,4},A={2,4},則A'={1,3}
例4. 如宇集U取為實數集合R時,討論的對象就有理數集合Q及無理數集合 Q' = R-Q

Ⅰ.笛摩根定律(將差集中之集合A改成U)

(Bbelong6.gif (59 bytes)C)'=B'belong7.gif (59 bytes)C' count5.gif (225 bytes)
(Bbelong7.gif (59 bytes)C)'=B'belong6.gif (59 bytes)C' count6.gif (192 bytes)
SET10.gif (410 bytes) SET10.gif (410 bytes) 重疊部份

(B'是B的外部C'是C的外部)

(Bbelong6.gif (59 bytes)C)' B'belong7.gif (59 bytes)C'
SET19.gif (844 bytes) SET20.gif (859 bytes)
(Bbelong7.gif (59 bytes)C)' B'belong6.gif (59 bytes)C'(含有顏色的部份)

Ⅱ. U'=empty.gif (62 bytes)empty.gif (62 bytes) '=U
Ⅲ. ( A' )'=A
Ⅳ. A-( Bbelong6.gif (59 bytes)C )'=A-( B'belong7.gif (59 bytes)C' )=(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong6.gif (59 bytes)(Abelong7.gif (59 bytes)C)

           SET21.gif (985 bytes)A-( Bbelong6.gif (59 bytes)C )'
Ⅴ. A-( Bbelong7.gif (59 bytes)C )' =A-( B'belong6.gif (59 bytes)C' )=(Abelong7.gif (59 bytes)B)belong7.gif (59 bytes)(Abelong7.gif (59 bytes)C)= (Abelong7.gif (59 bytes)Bbelong7.gif (59 bytes)C)   

   SET22.gif (974 bytes)A-( Bbelong7.gif (59 bytes)C )'

隨堂練習:

    1. 四季所組成的集合為U=?
  A={春,秋}則A'=?  NS:U={春,夏,秋,冬}
                 A'={夏,冬} 
    2. 設宇集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
  A={1,3,5,7},B={3,4,5,6}
  則( Abelong6.gif (59 bytes)B )' = ________
         B'belong7.gif (59 bytes)A' =________ ANS:( Abelong6.gif (59 bytes)B )'={2,8,9,10}
               B'belong7.gif (59 bytes)A' ={2,8,9,10}
           顯然笛摩根定理成立:( Abelong6.gif (59 bytes)B )'=B'belong7.gif (59 bytes)A'
    3. 上題中( Abelong7.gif (59 bytes)B )' =________
                      A'belong6.gif (59 bytes)B' =________

circle.gif (79 bytes)積集

 

         A,B是兩個非空集合的集合,規定AB={(x,y)|xbelong.gif (411 bytes)A且ybelong.gif (411 bytes)B}稱為A與B的積集
例:A={1,2},B={0,count2.gif (87 bytes)
        A B={(1,0),(1,count2.gif (87 bytes)),(2,0),(2,count2.gif (87 bytes))}
        BA={(0,1),(count2.gif (87 bytes),1),(0,2),(count2.gif (87 bytes),2)}
        A2=AA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

Ⅰ. A B≠BA只有A=B時,A B=BA
Ⅱ. 坐標平面E=R ╳R
Ⅲ. A B中之任意元素是有次序的,就好像坐標平面上的點( x,y )與點 ( y,x )是不相同的

隨堂練習:
    1. 衣服型態由A={L,M,S}決定,外觀由B={紅,藍,黑}所代表,那麼不同衣服款式有哪些?A B=?
   ANS:不同款式有9種如下:
      A B={(L,紅),(L,藍),(L,黑),(M,紅),(M,藍)
      ,(M,黑),(S,紅),(S,藍),(S,黑)}

    2. 某餐飲店有熟食:A={炸雞腿,披薩,大漢堡}每份各100元,再免費附送飲料B={果汁,可樂,汽水}一份,則有幾種不同的選擇?
     ANS:A B={(炸雞腿,果汁),(炸雞腿,可樂),(炸雞腿,汽水),(披薩,果汁),(披薩,可樂),(披薩,汽水),(大漢堡,果汁),(大漢堡,可樂),(大漢堡,汽水)}

        共九種選擇