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鍾靜 國立台北師範學院數理教育學系

摘要

時間和速率有相同的特性,都是不在實物上存有的量,但是在學童的生活經驗中卻處處存在。

本文提出教學上相當一致的疑難,藉皮亞傑對兒童時間概念研究的啟示,配合民國82年版數學課程標準對工具量所建議的教材架構,重新安排設計教材;並按教學年級分布排出教學活動,輔以數學結構和認知結構的說明,讓時間教材和速率教材的設計理念可以呈現。 

時間(time)和速率(velocity)有相同的特性,它們雖然存在於生活中,但是看不見、摸不到,無法藉由實體表徵出來,而且不易掌握量感。這一類教材的設計顯然不能同於長度、重量、容量、面積、體積、角度等教材,只能從工具的使用入門,在概念發展、文化適應上的處理要遠勝於對物理現象的掌握。本文擬先分析教學的現況、對照相關的理論後,進而介紹教材的特性,並就其數學結構、認知結構等來分析探討教材的設計理念。

壹、教學現況

根據教師在現場教學的經驗所提出的疑難問題﹙林清強等,民84;莊仁宗等,民77),可反應出學童的學習情況及教師對教材處理的看法。

一、學童的學習困難

時間和速率教材和生活有密不可分的關連,尤其是時間教材;在日常生活中,時間、時刻的用語經常被用到。但是,學童仍有學習上的困難,值得課程設計者深思。

1.低年級部份

(1)有關鐘面時刻的報讀

.分針指在9以後,時針都靠向隔壁的數字,容易錯誤,如五點五十六分看成六點五十六分。

.長針走一大格是五分的事實,兒童不易接受,如十二點二十分,因長針指向數字4,兒童認為是十二點四分。

(2)有關月曆日期的報讀

.昨天、今天、明天在時間上日期的變換,例如:假設某日為今天,問昨天、明天;中下程度之兒童通不易理解。

.月曆、日期的教材內容抽象,兒童不易學習,效果不好。

.月曆的構成及每月最後一日是「30」或「31」止的判斷很困難。

.每月底星期幾到下月初星期幾的連接,兒童較難理解。

.一星期有七天,但從星期日到星期六為一星期,兒童難以接受。

.二月為什麼會有29天?兒童對平年和閏年不易區分。

2.中年級部份

(1)有關時刻和時間

.上午11時50分,30分鐘後是什麼時刻?平常看慣鐘面是圓形的,突然以數線來解說,兒童容易混淆不清。又兒童對跨越上下午的時刻及時與分的改變較困難。

.時間是什麼?和時刻有何不同?兒童感覺困難。

.某時刻的1小時40分鐘前或某時刻的1小時40分鐘後,兒童總會忘了時針該後退或前進。

(2)有關時間的計算

.兒童對幾時幾分幾秒到幾時幾分幾秒,共多少時間?缺乏概念,學習困難。

.時間與時刻的觀念混淆不清,兒童會將「×時×分」+「×時×分」的計算想成二個時刻的相加。

3.高年級部份

(1)有關時間的化聚

.時間的複名數與單名數的互化,兒童容易混淆,尤其複名數化成單名小數時。

.兒童易將「36秒=( )/( ) 分=( )/( )分」當做分數的分號而寫出幾分之幾的答案。

(2)有關速率

.兒童常把速率說成速度,不易區分速率和速度。

.兒童對三階單位與二階單位之間的轉換顯然不同,由於在時與秒的化聚上概念不足,影響到時速與秒速的化聚關係(呂玉琴、譚寧君,民85)。

二、教師的教學疑惑

教師往往接照課本所提供的題目和解法來進行教學,所以課程設計者和教材編寫者的理念間接影響了教學。教師對教材的疑難和處理的建議是可做為借鏡的。

1.有關時間教材

(1)低年級部份

.關於鐘面上幾點半的讀法。是屬於2個向度的問題。請移至一年級下學期教學。

.一下的兒童對月曆的構成以及日期的意義不是很容易了解,請考慮把教材移後,並改善教材的出現方式。

.月曆的每月最後一天應是先印好,以免兒童不清楚那月的大小而填錯。

.課本上的月曆表不宜印出昨天、今天、明天的日期(已指出今天為17日),如果教學當天不是17日容易引起學生混淆。

.「幾點幾分」的教學較困難,鐘面的認識應如何指導?

.時下電子表、電子鐘以很流行,因此對點、分的指示方式,是否應劃入正式的教材。

.教學指引提示為配合將來教學「時刻與時間」的教材,在上課書寫時用「時」「分」,而課本及習作均出現「點」「分」。

.教學時教具很充足,學生學習興趣很高,可是習作或考試時還是會錯。

(2)中年級部份

.課本以一圓表示小明一天的生活作息,與實際時針環繞鐘面二圈不同,兒童不易接受,可否在鐘面上改為雙圈表示二十四時刻。

.利用時鐘和畫數線來點算出某一時刻之前或之後的時刻,及經過的時間,兒童對此感覺困難,希望延至四年級才教學。

.指導兒童數出某一時刻的時間或數出某段時間之後、之前是什麼時刻,是否能直接指導時分的加減,而不必留待四年級才指導。

.時刻是不能加減乘除的,可否用「×小時×分鐘」+「×小時×分鐘」,而非「× 時×分」+「×時×分」。

(3)高年級部份

.課本上出現6分35秒=35/60 分=6.58分,是否用「≒」符號表示6.58分是近似值。

.有關時間的進退為計算,是否在式子內直接計算,不要再搬出來計算較好?這樣能避免搬來搬去而搬錯?

.中、低年級計算時不教名數,到高年級時再加入名數,很難指導。

.複_名數化成單名數時,是否可一律用分數表示。

.兒童用直式做時間的乘除,其格式與課本的直式格式不同,是否可以?

2.有關速率教材

.「9分鐘會走多遠?你怎麼知道?」因走路不像汽機車可定速,故以走路時間與路程之關係當作正比例之說明,似乎在教學上很難說服學生。

貳、理論基礎

民國八十二年版的數學課程強調解題是數學的學科特性,要落實以學生為本位的觀點(教育部,民82;周筱亭,民83);其教材編排已由學科組織邏輯轉向學科發生邏輯(甯自強,民82)。所以,配合兒童認知發展的教學是這次數學課程改革的特色之一;怎樣的課程設計和教材編排才能實踐理想呢?

有關學童時間、速率方面的認知知識的研究甚少,本節僅就皮亞傑(1969)的研究,及課程標準(教育部,民82)建議的教材架構做說明。

一、皮亞傑研究的啟示

皮亞傑(1969)在「兒童的時間概念」一書中,提及其研究不是就科學概念發展做簡單的心理分析而已。書中第一部份在討論研究室的實驗,及幼童對連續事件(successive events)的順序、持續時間(durations)的估計;第二部份涉及物理時間(physical time)——順序(order)、同時發生(simultaneity)、同一時刻(synchronization)、持續時間的總括和增加、測量(measurement)的不同操作;第三部份分析有生命的時間(lived time)——年齡的想法、心裡學的持續時期,由適應外在世界建構時間基模(time schemata)。

本節不擬逐一敘述,僅提出對課程設計有關,對教材編排有啟示者。

1.事件的順序

七或八歲以前的兒童對事件順序不具可逆性,之後可對事件順序重新結構。其發展分三個階段:

階段1:重建完整的序列很困難。

階段2:可正確安排不分離的圖畫,但對連續分離的圖畫排序失敗。

之1:不能製作完整的序列。

之2:初期的失敗會隨著經驗而成功。

階段3:八至九歲的兒童對連續分離的圖畫可重新排序,並可領悟事件連續和同時發生。

2.持續時期

兒童的持續時期概念是藉由對事件順序的領悟而得到。其發展分為三階段:

階段1:不能領悟持續時期的想法。

階段2:明瞭直現的持續時期,但缺乏統合。

之1:對同時的持續時期可同等化。

之2:對持續時期和測量可定質總括。

階段3:操作及建構定質的持續時期和時間的測量。

3.物理時間與心理時間(psychological time)

心裡時間有二個明顯和基本的系統是:事件連續的順序、持續時期的總括;它唯一和物理時間不同的是和有生命的事件一起處理,較少和個人行為分離。

八歲以前,兒童的故事敘述和活動記憶仍有完全地自我中心;事件建構於個人有興趣的事,而非時間的真實順序。七、八歲以後兒童的「故事敘述」才能處理物理時間的持續問題。

根據實驗,兒童對故事敘述的失敗情況如下:

年齡

4歲

5歲

6歲

7歲

8歲

9歲

10歲

11歲

失敗頻度

94

85

70

46

10

6

7

0

備註

N=120

同時,七、八歲以下的兒童不能安排圖畫的順序,八歲以下的兒童不能從圖畫再現其開始和結束去重新結構一個故事。

4.時間與速率

時間是在不同速率下移動的統合;這裡所指的移動是真實的移動,而非幾何上想像的運動或置換。時間的建構完全始於和速度的交互作用,它存在於人類的活動或外在的移動。

5.時間的量表徵

「t=S/V」或「t=S×V-1」代表三種意義:(1)相同距離時,時間增加相等於速率減少,反之亦然;(2)相同速率時,時間增加相等於距離增加;(3)相同時間時,距離增加相等於速率增加,反之亦然。

二、82年版課程標準的建議

本次課程標準(教育部,民82)在教學方法部份強調:數學的概念與技能,必須由兒童自行建構;數學教學應以兒童的直觀經驗為素材,經過逐步數學化的過程,來促進兒童建構有關的知識。在量與實測的教材綱要上有一但書,即「註200」;指出對於量感建基在「刻度上的變化的相對性質」的量,教材上的架構理念是先由工具的使用入門的;以工具上的不同刻度作為不同情境的指標之後,再以比較記錄上的差異引入刻度上的變化概念,從而建立所謂的相對量感;再由等相對量感的不同階刻度的不同變化,引出及應用不同刻度間的關係。

參、教材特性

學童對時間概念、速率概念、時間的量感及實測能力,不能從實物上直接開始培養;因為時間的量感不是建基在「實物的感覺存有性質」的量,它看不見、摸不到,無法藉由對物理現象的掌握與工具的並進使用入門。在教學時間、速率單元時,其教材的架構理念是從工具的使用入門;在概念的發展上,對文化的適應成分遠勝於對物理現象的掌握成分。

一、是工具量不是感官量

我們稱「時間」、「速率」這類量感建基在「刻度上的變化的相對性質」的量為工具量,因為他們都是藉由工具上比對刻度的觀點,從刻度的變化掌握此類量的相對量感;而稱「重量」、「容量」、「長度」、「面積」、「體積」和「角度」這類絕對量感,可以從實物存在性質上入手的量為感官量(鍾靜,民83)。

感官量的特性是可藉由視覺或觸覺來掌握,甚至可藉由感官將其演出;通常這類量是一種絕對量感,量感的表徵有比例性。而工具量的特性是無法藉由實體把它表徵出來,通常是一種相對量感,常因個人感覺、生活事件不同而量感有異。

二、工具量的教材架構

由第壹節所述的教學現況和第貳節所述的理論基礎可知:要先以不涉及量感的教學活動從工具—鐘錶、月曆,來認識時間,再配合生活事件從時刻變化中建立時間量感,進而才能做時間的化聚。而速率教材在小學階段只教速率的認識和直接比較為主,也是尚不涉及量感的。

因為速率教材在小學出現的不多,所以,本節藉工具量的教材架構,﹙教育部,民82;鍾靜,民83﹚,配合呈現時間教材的分布情形,進一步可瞭解教材架構層次的內涵。

1.層次一:比對刻度現點——以工具上的不同刻度作為不同情境的指標

這個階段完全不涉及量感,更不是從數學結構開始;低年級的時間教材及部份中年級的時間教材都在此階段。

一年級上學期:

.分辦事件發生的先後和長短,經驗時間和時刻。

.認識時鐘並報讀幾點鐘的時刻(含數字鐘型態的時刻記錄)。

.報讀生活事件發生的時刻。

.使用早上及晚上的語詞報讀時刻。

一年級下學期:

.透過時刻的記錄,讓學生察覺長針、短針會因時間的流逝及時刻的改變而旋轉。

.報讀、撥出並記錄幾點半的時刻。

.查日曆和月曆,知道幾月幾日是星期幾。

.配合查月曆活動,知道不同月份間、同月份不同日間的先後順序。

.透過記錄每天的日期,讓學生經驗日子的流逝,並會使用昨日(天)、今日(天)、明日(天)的用語。

二年級上學期:

.透過幾點鐘、幾時30分的報讀,進而介紹時針和分針;並在鐘面的小刻度上標出1∼60數字,再轉成0∼59的數字。

.根據小刻度上標有的數字的鐘面所展示的時刻,報讀幾時幾分。

.察覺鐘面上數字1∼12和小刻度上面數字關係,並能根據鐘面說、讀、聽、寫、做幾時幾分(含數字鐘型態的時刻記錄)。

三年級上學期:

.透過查月曆,認識今年、明年都有12個月其總日數。

2.層次一進入層次二階段

三年級上學期:

.透過一天生活事件的記錄,認識一天。

.以日作為計讀的單位,點數某一時段的日數,及認識一星期。

三年級下學期:

.透過查月曆,就特定時段計算日數;經驗年、月、日的初步化聚。

3.層次二:建立量感階段——以比較記錄上的差異引入刻度上的變化概念,從而建立所謂的相對量感。

這個階段開始配合生活事件建立各時間量的量感,大部分中年級的時間教材在此階段。

三年級下學期:

.配合時刻變化及生活事件的描述,經驗1時(小時)的量感。

.以「時」為單位,點數一天中某一時段的時數,並配合生活事件描述,認識1日是24時(小時)。

.認識二十四時制的文化約定。

四年級上學期:

.配合時刻變化及生活事件的描述,經驗1分(分鐘)的量感。

.以「分」為單位,點算特定時區分(分鐘)數;並配合實際事件進行整分鐘的實測活動。

.認識秒,以秒為單位,點算特定時區的秒數;並配合實際事件,進行不超過1分鐘的實測活動。

4.層次二進入層次三階段

三年級下學期:

.時和日、日和星期的初步化聚。

四年級上學期:

.以分鐘為單位,觀察鐘面時針、分針的轉動,認識1時60分、60分是1時。

.藉秒針轉一圈是60秒,分針轉一小格是1分,知道60秒是1分,1分是60秒。

.分和秒、時和分的初步化聚。

四年級上學期:

.從年、月、日關係的現象,推知1年(平年)有365日,1年有12個月、1個月是30日的說法;進而認識1年、1個月。

5.層次三:建立等量感階段——由等相對量感的不同階刻度的變化,引出及應用不同階刻度間的關係

當學童有了各階(年、月、日、時、分、秒)的量感後,開始建立連續二階、三階間的化聚活動;所有高年級的時間教材都是在此階段。

四年級下學期:

.認識時、分、秒間的關係,知道「1日=24時」、「1時=60分」、「1分=60秒」。

.配合生活情境,進行時和分、分和秒的整數化聚。

.配合生活情境,進行日和時的整數化聚。

五年級上學期:

.配合生活情境,在一個月大概有30日的經驗下,進行月和日的整數化聚。

六年級上學期:

.時和分、分和秒,以及日和時的分數化聚。

六年級下學期:

.時和分、分和秒、以及日和時的小數化聚。

6.層次三進入層次四階段

五年級上學期:

.藉電視時刻表形成以1時(小時)為單位,表徵時刻和時間量的數線結構;並瞭解時刻和時間量的關係。

.報讀火車時刻表,並查閱、描述指定車次的行程及時刻。

五年級下學期:

.報讀汽車時刻表,並將其時刻在以1時(小時)為單位的時間數線上標示出來。

7.層次四:計算與應用

五年級下學期:

.會做日和時、時和分、分和秒連續二階複名數時間量的加、減、乘法計算,並發展直式記錄。

.會做日和時、時和分、分和秒連續二階複名數時間量的除法(包含除、等分除)計算。

.利用時間數線和圖示表示時刻和時間;將同一日(天)中兩時刻與時間量的問題,記錄成算是填充題,並進行解題。

六年級上學期:

.用分數做時間的化聚、計算及其應用。

六年級下學期:

.用小數做時間的化聚、計算及其應用。

肆、時間教材

兒童的時間概念來自生活經驗,和個人的活動有關;從皮亞傑研究的啟示可知:兒童的時間概念多半屬於心裡時間,要在七、八歲以後才有物理時間的想法。所以,要以兒童的眼光來設計教材;且因時間是工具量,不能從涉及量感的教學入手,僅能從鐘面、月曆現象和時刻記錄變化上開始教學。

本節擬就第參之二節所呈現時間教材的分布,分為數學結構和認知結構來說明設計理念。

一、數學結構

1.時間和時刻

時刻在數學用語上是指某一事件發生的時候,例如:8點升旗、8點40分上課、上午開會、明天出差;而時間在數學用語上是指某一事件經過了多久,例如:升旗20分﹙分鐘﹚,上一節課40分﹙分鐘﹚,開會3時﹙小時﹚,出差2日﹙天﹚;二個時刻之間所形成的時區就是時間,例如:9時半到10點30分經過1時﹙小時﹚,今天9時到明天9時經過24時﹙小時﹚或1日﹙天﹚;也有一些不明確的,例如:上午到下午,今天上午到明天上午,今天到明天。通常幾時幾分視為時刻學童較易接受,但是今天、明天、幾月幾日,在情境上可視為時刻也可視為時間,例如今天到明天可計算為1日,也可計算為2日﹙把今天當做1日,明天當做1日﹚;只能從情境上去判斷或者學童言之有理即可。

生活用語上的時間,泛指數學用語上的時間和時刻,例如現在是什麼時間?指的就是時刻;花了多少時間?指的就是時間。在低年級及三年級教學時,為了避免混淆,我們通常用「現在是什麼時候?現在是幾點幾分?」代表時刻;用「經過了多久?」代表時間;藉時刻的改變並配合事件的發生,來體驗時間的流逝。在四年級上學期,教師的問話偶會提及「幾時﹙點﹚幾分這個時刻」;在四年級下學期,教師的問話會正式出現「現在是什麼時刻?」的用語。

2.鐘面上的大刻度和小刻度

鐘面上的數字就是報讀時刻時,用來「比對刻度」的刻度量,通常稱做大刻度,對學童而言是一大格。例如:第一冊以長針指向數字12,短針所指數字×,就報讀×點鐘;第二冊以長針指向數字 6,短針指向數字×和一下個數字之間﹙例如3和4之間﹚,就報讀×時30分﹙例如 3時30分或 3點半﹚,第三冊報讀時刻則需有小刻度的幫忙,所以配合分針所指的位置,在小刻度上做記號,先從 1開始記到60,再轉成由0記到59;意指分針從鐘面上大數字12開始轉動,若視為起點則為0分刻度,若視為終點則為60分刻度。

學童先在鐘面上大數字12處,所標示小刻度數度,可以只有0,只有60,或者0和60並存,再讓學童由經驗中覺察鐘面數字12、1、2…、11和小刻度數字0﹙60﹚、5、10、…、55的關係,認識及辨識分針指向0分刻度、1分刻度、2分刻度、…、60分刻度得位置;進而當分針指向1分刻度時會報讀×時1分、…、分針指向59分刻度時會報讀×時59分,最後希望拿掉小刻度上的數字記號,學童仍能以分針指向的小刻度,知道是幾分刻度,並會報讀幾時幾分。

3.鐘面上的二維關係

報讀時刻是藉由長針和短針在鐘面上所指數字或刻度而決定的。短針﹙時針﹚和長針﹙分針﹚的移動是相關連的,在教學時刻的報讀時,要以二維的觀點同時指導幾時幾分;從整點時刻﹙例如9點鐘﹚開始,確認時針、分針所指位置,以分針轉動所指小刻度報讀幾時幾分,尤其在15分、30分、45分時,要特別觀察時針的位置,直到下一個整點﹙例如10點鐘﹚再觀察時針、分針所指位置。

鐘面上的數字1、2、3、…、12,對時針而言,代表1時、2時、…、12時;對分針而言,代表5分、10分、…、60分。

4.日曆和月曆

日曆一天一張,一天天按前後順序出現;月曆是將日曆結構化,以同一月分的日期出現。在日曆上查閱星期幾很清楚,但須一張張翻閱;而在月曆上找幾月幾日星期幾,必需先確定月分後,同時會看二維﹙一維是日,一維是星期﹚例如:

 

         

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

       

或者

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

或者其他實際月曆的各種表示﹙例如,一頁有2個月﹚。

因為幾月幾日和星期幾是兩個系統的運作,因此教師要了解教學查閱日曆和月曆,比較其異同是很重要的。但不必要求學童記得各月有幾天,各月有幾個星期日,每月的第幾天是星期幾等等。

教師可利用學童帶來的同年度的各種日曆、月曆進行教學情境佈置及教學,讓學童觀察不同的日期表示方法,但知道其結果是一樣的。例如,不論用日曆或月曆:(1)同一天﹙×月×日﹚所對應的星期幾是一樣的;(2)每一年都有相同的月分數,而且月分出現的順序是一樣的;(3)同一個月分有相同日數,而且日數出現的順序是一樣的;(4)每個月最後1日和下個月最初1日銜接的情形也是一樣的。尤其月曆的查閱,學童要透過教學來了解文化傳承的意義。

5.月曆的年、月、日

現今世界通行的曆法源自羅馬格雷哥里曆。羅馬曆的第一個月就是我們現在所指的3月,接近立春起算;中國農曆則是立春起算。羅馬曆按原定計畫會是3、5、7、9、11、1月為大月,有31日;4、6、8、10、12、2月為小月,有30日;但是2月是羅馬曆的最後一個月是用來調整日數的,所以預定在閏年時定為30日,平年時定為29日。

沒想到,以奧古斯都大帝為名的8月,卻被定為小月,奧古斯都有意見,只好將8月改為大月;且為符合平均原則,將9、11月調整為小月,10、12月調整為大月,從此2月就比原定計畫少一日了。

6.一年

何謂「年」?查月曆可知,平年為365日,閏年為366日;且有名稱年和區間年之分,它們都形成一年的週期。

名稱年固定以每年的1月1日為起日,12月31日為終日;是以「日」為單位。亦可說成從每年的1月1日0時為開始時刻,到12月31日24時為結束時刻。

區間年以某月某日為起日,次年同日的前一日為終日,例如:以7月8日為起日,次年7月7日為終日;或以8月1日為起日,則次年7月31日為終日。生活中常見的學年度就是以當年的1月1日為起日到次年的7月31日為終日,而會計年度就是以前一年的7月1日為起日到當年的6月30日為終日;普通所謂某年度就是以當年1月1日為起日到12月31日為終日。

7.一月

何謂「月」?查月曆可知1、3、5、7、8、10、12月為31日,是大月;4、6、9、11月為30日,是小月;2月在平年時是28日,在閏年時是29日;這是文化上約定俗成的事。

我們通常說1月為30日是大概的說法,也涉及平均數的想法。因為學童很難理解,所以我們不由此觀點教學。

8.一星期

一星期不同於年、月、日是自然週期,而是純屬人為的星期週期。若以「日」為單位,則一星期是連續七日,例:從11月3日星期五到11月9日星期四;若以「時」為單位,則依星期是連續24×7時,例:從11月3日星期五9時到11月10日星期五8時;若以時刻觀點界定,則一星期也是連續24×7時,例:從11月3日星期五9時的開始時刻,到11月10日星期五9時的結束時刻。

一星期具有星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六和星期日,共7個元素;每個元素在一星期中只出現一次,而且配合日期的順序是連續7日;因為時間是工具量,不存在於實體上,必須藉用工具,如:時鐘、月曆去掌握它;所以在低年級階段查閱月曆非常重要,僅能將日視做名稱日,並做為計算、報讀單位去認識一星期。

至於文化上約定的「一星期」是從星期日至星期六,或星期一到星期日,在低年級階段的學童尚不能理解。

9.一日

何謂「日」?亦有名稱日和區間日之分,它們都是以連續24小時形成一日週期。

名稱日的界定以每日0時為開始時刻,到24時為結束時刻。通常日曆上的「日」係指名稱日;本單元強調在月曆上查閱,所以所提之「日」,指名稱日而非區間日,例:某月某日就是一日、星期三就是一日。

區間日則為某時刻開始到次日的某時刻結束,例如:今天的8點鐘到明天的8點鐘;或某時某分開始的時刻到次日某時某分的結束時刻,例如:今天的13時5分到明天的13時5分。若以「時」為單位,則區間日是連續24時﹙小時﹚,例:今天的8時到明天的7時。

10.一小時

時間是在實物上不存有的量,教學什麼是「1小時」時,不可能拿出一個量讓兒童有明確的體驗;如果利用鐘撥轉長針一圈說是1小時,但其實際經過的時間可能只有幾秒;如果讓兒童目視時鐘,實際看長、短針轉動情形,體驗的1小時必定是度時如年。

成人描述何謂1小時?多數人會說1小時是60分,但1分鐘又是怎樣描述呢?事實上,每個人可能因事不同,對「1小時」的感覺也不同,如果1小時在進行喜歡的活動、或不喜歡的活動時,其對1小時的感覺就有差異;所以對「1小時」精確的度量,必需借助工具——時鐘,從刻度的變化建立所謂的量感。

我們在工具量教材架構層次二建立量感階段,讓學童配合生活事件,以及鐘面上時針、分針的位置轉動變化進行教學活動,以經驗1小時的量感。讓兒童察覺1小時的量,有1小時量感的自覺性;而非讓兒童僅藉假轉鐘面上長﹙分﹚真一圈,或以60小格是60分來教學1小時。

11.一分鐘

因為時間是工具量,所以教學「1分鐘」時,不可能拿出一個量讓兒童明確感受;要像教學「1小時」是配合生活事件,以及鐘面上時針、分針的位置轉動變化進行教學活動,而產生量感的自覺性。

教學活動的設計,是先以生活事件和「1分鐘」量感做連結,再配合鐘面現象由□時△分到□時﹙△+1﹚分,以名稱分觀點認識「1分鐘」;並非利用兒童已察覺鐘面上分針轉1圈、時針轉1大格是1小時的現象,而是用說明1小時是60小格,1小格是1分鐘,或1分鐘是60秒鐘方式入手;兒童從比較記錄上的差異,引入刻度上的變化概念,建立所謂的「量感」﹙工具量的教材架構層次二﹚,分別建立不同階的單位量,例如:1小時﹙三下﹚、1分鐘﹙四上﹚、1秒鐘﹙四上﹚。

12.一秒鐘

1秒的量感和時刻變化甚難掌握,所以藉1分鐘節拍器打60下和鐘面上秒針和分針的轉動做聯結,認識1秒鐘,並產生1分鐘和60秒鐘的關連。

13.時間的單位量:年、月、日、時、分、秒

通常我們說「1年」時,會想成一個時間量,很少有其他想法,但是說「1998年」時,則會想成時刻,甚少有人會想到也是1998個1年的時間量;所以說「1月」、「1日」時,則可能想成一月或一日是一個時刻,也可能表示時間量;至於說「△時○分□秒」時,是指時刻還是時間量呢?

數學上表示時間的單位量是年、月、日、時、分、秒,其低階單位到高階單位的進位系統有六十進位、二十四進位、三十進位、十二進位等,是一個複雜的高低階關係。通常在單位量前加上單位數,例如:5元、5公分、5公升等等,表示某單位量有多少?是一個量;但是碰到時間教材,要配合情境去瞭解是指示時刻還是表示時間量。

生活上,我們有時會說△年○月□日、△時○分來代表時刻或時間,也會用△個月、△小時、△分鐘、△秒鐘來代表時間﹙時間量﹚。

14.日、時、分、秒的兩階間等量關係

兒童在四年級上學期,藉已有的1分鐘量感和鐘面現象的連結,進行累計特定時區有多少分或多少小格的計讀活動;再擴展到討論同一事件從△時到﹙△+1﹚時《名稱時》或△時○分到﹙△+1﹚時○分《週期時》有多少時間?知道1小時和60分鐘的關聯;並藉節拍器1分鐘打60下和鐘面上秒針和分針的轉動作連結,認識1秒鐘,並產生1分鐘和60秒的關聯;兒童先在工具量層次二發展日、時、分、秒的量感,透過教學活動已察覺到高低階單位間的關連,但尚未進入層次三等量感階段。在四年級下學期,則是藉有系統的教學活動,協助兒童分別建立「1時=60分」﹙「60分=1時」﹚、「1分=60秒」﹙「60秒=1分」﹚、「1日=24時」﹙「24時=1日」﹚的等量關係,並體驗名稱時和週期時、名稱日和週期日。

15.年、月、日的兩階間等量關係

1年有12個月、1個月有30日,那麼1年不是就應該有360日?在兒童尚未學習平均數及概數的概念時,教師不宜要求兒童發展一般性推理;宜從月曆的現象入手,來適應文化上的約定。就指定的年、月均可查出其有關日數,並可察覺其規律;僅對未指定的年、月,告知「我們通常說1年有365日」、「1個月有30日」。

在四年級下學期曾藉6年的年、月、日現象,讓學生察覺其規律。在小學階段並不作進一步的教學活動,發展「1年=12月」、「1月=30日」的等量關係。

16.時間的數線結構

兒童到四年級為止,均是利用圓形鐘討論鐘面現象,圓形鐘所呈現的鐘面數字及小格刻度的結構是數線結構,意即看到等距及累進現象;兒童在高年級之前尚未涉及數線結構的瞭解,且因時間是工具量,教學僅從鐘面現象瞭解鐘面的刻度,並未介紹鐘面上的數線結構。

為配合五年級下學期教學:一時刻經過多少時間會到那一時刻,或兩個時刻間經過多少時間的時間計算問題,且會涉及過午、過日、過月等類型,故在五年級上學期先將時間的表徵直線化有助於兒童日後的概念發展。

時間的表徵直線化後,對時刻、時間的關連較易突顯,例如:上午8時的時刻亦表示從上午0時到上午8時經過8時﹙小時﹚的時間,,10時的時刻到14時的時刻是經過4時﹙小時﹚的時間;且對時間是無限延長的感覺較易掌握。

時間的直線表徵,通常應符合一些數線結構的概念:1.等距現象,意即等量時間﹙例如每1小時﹚要用等長的線段代表。2.累加現象,意即數線上的刻度代表時刻,每增加一線段就做有序的累加,但受文化約定,一天只有24時的限定;所以連續記錄數天,標明日期及每天開始、結束時刻是很重要的。

有關時間數線結構的教學設計,未採用圓形鐘面上拉直呈現,是為避免大小刻度的混亂,同時在表示時刻容易聯想到兩針所指位置。

17.時刻和時間量的計算問題

有關於某一時刻經過多少時間量會到哪一個時刻,或兩個時刻間經過多少時間量的計算問題,是學童學習困難的教材。為了能配合學童的認知發展,進行有意義的解題,在五年級上學期進行藉電視時刻表形成以1小時為單位,表徵時刻和時間量的數線結構,瞭解時刻和時間量關係的活動;在五年級下學期則先藉報讀汽車時刻表,將指定時刻在以1小時為單位的數線上標出來。

學童有了在時間直線上標示某時刻﹙△時×分﹚的經驗,並能瞭解該時刻﹙△時×分或△點×分﹚和表示從0時間開始到時刻所經過的時間量﹙△時×分或△小時×分鐘﹚的關係後,可讓學童將問題利用算是填充題呈現,再配合時間數線說明。例如:6點15分到12時10分經過多少時間?學生在以1小時為單位的時間數線上將問題標示出來,如下圖。

再記成算式填充題:

A型:12時10分-6時15分=( )時( )分

B型:6時15分+( )時( )分=12時10分

C型:12時10分-( )時( )分=6時15分

學童就時間數線的說明,可能有兩類,一類是「位置經過位移到新位置」的向量觀點,即某時刻加(減)時間量是某某時刻(對應B、C型,也可配合點算),或二時刻相差一個時間量(對應A型)的說法;一類是「時間量加減」的計算觀點,即將時刻換成從0時間量,對兩個時間量作加法運算(對應B型)或減法運算(對應A、C型)的說法。

如果兒童不能瞭解「△時×分」的時刻,也可以想成是「同一日0時開始到△時×分一共經過了△時(小時)×分(分鐘)」,教師可提示使用公分尺量物長的想法。

18.時間計算的直式記法

學童用直式做法解決時間的計算,只是比較簡潔,便於對不同階單位量的計算做記錄,同時也是一種文化上的適應,所以未用直式做法對解題並無妨礙。由於直式格式記錄實際上是二階分開計算的簡化記錄,學生要先熟悉二階分開計算的方式,才能進入直式格式的記錄。 

教師教學時所呈現的直式記錄如下:

直式格式中的直(橫)線表示「相等」的意思;學童的直式格式只要能記錄問題,表示正確答案,中間過程視窗部分合理即可,不必在直式記錄上要求一定格式,而是合理解題記錄(含直式、橫式)才是重要。

至於碰到除法問題時,因涉及等分除、包含除類型,學童利用直式做法,不易記錄除法問題的解題想法;因為,直式記錄將化聚即除算混在一起,學童不易分辨清楚,如:

等分除:11時28分÷8=( )時( )分


包含除:23時30分÷7時50分=( )

所以教師在除法教學活動時不以直式做法與學童溝通,如果學童自己出現直式,教師宜淡化處理也可請學童試著說明他的做法,但不鼓勵學童使用直式計算。

19.時和分、分和秒的整數、分數、小數化聚

由「幾分」聚成「幾時」可用整數、分數、小數表示,例如:120分=2時、140分=2又 1/3時≒2.33時、150分=2.5時,因為由低階單位「分」聚成高階單位「時」是六十進位,運算複雜,所以要配合兒童有關「數與計算」教材的發展。

兒童在四年級下學期僅做整數化聚,由「幾分」聚成「整數時」或「幾時幾分」,至於由高階單位「時」化成低階單位「分」也是在整數時和幾時幾分的範圍。配合學童分數概念的發展,在六年級上學期才教時間的分數化聚;時間量由低階單位聚成高階單位,若不受整數的限制,其不足高階單位量的表示,最可能的表徵會是分數,因為時間單位量高低階間非十進位,由「分」聚成「時」、「秒」聚成「分」時,其真分數部分自然是以60或60的因數為分母,不是以10、100、…為分母,學童首次涉及時間量非整數化聚,尚不易轉為十進位制的小數,所以先以分數化聚為主。

配合小數近似值的教學,所以在六年級下學期才教時間的小數化聚,學童可由分數表徵換成小數表徵,也可直接藉整數相除後用小數作答。

時和分的化聚活動在日常生活中常用,分和秒的化聚也是六十進位,但在日常生活中少用。

20.日和時的整數、分數、小數化聚

由「幾時」聚成「幾日」可用整數、分數、小數表示,例如:48時=2日、36時=1又 1/2日=1.5日,這是二十四進位的運算;因為涉及學生分數、小數的認知發展階段,所以在四年級下學期僅做「幾時」聚成「整數日」或「幾日幾時」的計算,由高階單位「日」化成低階單位「時」亦然。

時間單位由「時」聚成「日」其分數表徵部份自然是以24或24的因數為分母,用小數表徵則是二十四進位的運算。

21.月和日的整數化聚

學生只有1個月大概是30天,或知道沒有指定月份是30日的說法,在進行月和日二階單位間的整數化聚活動必須時時提示「1個月當做30天」;換言之,學生對月、日間的等量關係並不能明確掌握,而且是三十進位的運算;所以,有關月和日的整數化聚活動教師可視學生的能力決定是否進行教學活動。

有關年和月的整數化聚活動,除涉及十二進位外,學生對年、月量感的掌握更加困難,而且尚未有等量關係;所以在小學階段也不教學。

二、認知結構

1.不以累進性合成的觀點而以比對刻度的觀點報讀時刻

鐘面上的時針走1大格的同時分針走1圈,若未經歷足夠的真實事件,學童僅從二針的轉動是無法了解真的是經過1時(小時)。教學時不能只看鍾面現象,還要配合時刻變化及時間量感。低年級學童尚在工具量層次一,尚未進入層次二,且對數線結構不清楚,學童無法知道分針走1小格是1分鐘,轉1圈是60分鐘,1分鐘是多久?所以教學時應避免說長(分)針轉1圈是1小時,長針轉1小格是1分鐘,1時(小)是60分(分鐘),或短(時)針轉1大格(例如數字3到4)是1小時,長針走1圈、短針走1大格等涉及時間量感的語言。

由於時間結構的複雜及量感(1分、1時)的難以掌握,所以學童只要單純的利用「比對刻度」的觀點報讀時刻即可,不可利用「累進性合成」的觀點,例如從9時開始,分針走1小格是1分,是9時1分,分針在走1小格,共走2小格是2分,是9時2分;或者現在是9時15分,分針再走2小格是多2分,是9時17分,…等方式來教學報時。教師應避免造成學童對時刻(刻度)和時間(區間)的混淆,例如5分刻度是指一個位置,即分針所指向的小刻度5的位置;而5分是5小格所累積成的量,每1小格是1分,5小格就是5分,它可以是0分刻度到5分刻度,也可以是13分刻度到18分刻度等等。

2.數字鍾的表示只當做時刻的一種記錄

時鐘是人類做出來的,它是歷史上物理科學的產物,而且鐘面上的結構就是長度的怪尺,更需具備數線的基礎才能了解;所以教學幾點鐘、幾點30分、幾時幾分,要從鐘面的上比對刻度開始,以長針、短針所指位置報讀時刻,與文化的適應、生活的用語相呼應。學童無法了解時間會跟著長短針走(一年級時不宜稱時針、分針),即使到了二、三年級教學幾點幾分時,學童將鐘面上的10時55分讀成11時55分也是常有的事。

數字鐘亦是電子科學的產物,我們要引導學童認識時間,產生文化上的認同,是一件困難的事。學童從鐘面上數字「4:30」很容易模仿成人說出4時30分,但對時間的意義、時刻的變化如何能了解?教學時也不可能盯著數字鐘看一、二個小時,觀察數字的連續變化,所以利用調整數字鍾的時間來教學不容易說明時刻的變化(例如:為什麼右邊數字從1跳至60後,又從1開始,而左邊數字仍然不便;在調整時間,只有單邊數字在動),還是利用時鐘長、短針的轉動現象,配合事件的發生較能說明時刻的連續變化,例如:從4點→4時30分→5時→5點半等等。

在連續撥、讀、記錄幾點鐘的活動中,利用時鐘觀察長、短針連續旋轉的位置改變,指導「幾點鐘」,並觀察出長針轉一圈就是1小時,而把數字鐘當做是記錄的方式之一。藉「4:30」這個符號的出現,進行長針轉半圈的連續活動,教學「幾點半」的報讀、撥鐘;並知道4點半、4點30分、4時半、4時30分、4:30是相同意義的記錄方式。

3.配合生活經驗強調現在

一年級下學期是以「現在」(當月、當日、當時)是什麼時候為主要討論活動,以配合學童生活經驗,而非生硬地去了解及記憶教學內容。例如:以當時看到的時刻記錄鐘面,觀察鍾面由以前的記錄到現在記錄的改變,配合發生事件的描述,經驗時間的流逝;以當日的日期及相關事件,體驗今天、昨天、明天的關係,經驗日期的流逝。

經驗生活中大刻度時間(例如「天」)的流逝,也是培養時間量感上重要的經驗。學童也許知道今天、明天、昨天的用語,但不一定知到其真實意義,需要有實際例子的體驗,所以安排配合事件(例如值日生)記錄日期的活動,很自然的引出今天、明天、昨天的用語,及日期(日、月、星期)的變化,經由多少每日連續討論,學童可有充分的經驗。但若假設某一日為今天,其前一天就是昨天,是幾月幾日星期幾;其後一天就是明天,是幾月幾日星期幾,則學童不易了解,而且十分不生活化,不宜如此教學。

4.時間、時刻的生活用語和數學用語並用

我們講一星期從數學上看一定是7天,但從生活上看一星期可不一定是7天,如果說上課一星期,大概指的是6天或5又1/2天;如果有一數學問題,小明的爸爸每天賺1000元,一星期賺多少元?學童算成1000元×7天、6天或5又1/2天等答案是否錯誤?我們通常說上課1天,但上課1天實際只有7、8小時,它離一天的感覺相去很遠。

因為時間的單位量是年、月、日、時、分、秒,所以在時刻上的數學用語是:1998年5月、5月14日、18時20分……等等,在時間量上的正適用語是:10年2月(10個年2個月)、5月14日(5個月14天)、18時20分(18小時20分鐘)……等等,有數學用語也有生活用語。數學本來就要和生活連結,不必因為學了數學用語後就刻意迴避生活用語;所以,幾時幾分和幾點幾分、1時和1小時、1分和1分鐘、1秒和1秒鐘、1日和1天、上午和早上、中午和晚上的說法都可以。

教學時宜讓學童藉情境判定△月□日、×時○分是代表時刻還是時間,不移用數學用語代表時刻、用生活用語代表時間。

5.化聚活動宜先聚在化

從低階單位(例如:分)累成高階單位叫做「聚」,由高階單位(例如:日)分成低階單位叫做「化」;兒童先有很多的累進的經驗,之後才有分的概念。

教學活動的布題配合兒童的認知發展先做「聚成」部分,再做「化成」部分;各部分題目的層次採由簡到繁有結構的安排。

6.合理的解體優於格式的要求

「運用分數小數記錄時間即簡化化聚和計算過程」的時間問題,一定是涉及時間量可經過化聚用分數、小數表示的乘、除問題,才在教學討論之內。

有關時間量的倍數、等分除、包含除及對等問題,教學時引導學童將問題用分數、小數聚成高階單位再解題是為介紹學童使用較為簡潔的方式解題,但教師在進行類似這些題目的評量時,不宜強求學童。教師應允許學童使用各種方式解題,只要作法合理,且能算對,教師均需予以接受。

伍、速率教材

根據皮亞傑(1969)的研究,時間是在不同速率下移動的統合;時間和速率二者互為有關。以兒童能瞭解的程度,小學階段是把時間視為單純的一維表徵,直到出現速率時才把它和時間、距離聯結起來,視為二維表徵。

一、數學結構

1.速率和速度(speed)

速率只講物體宜動得快慢而不管其移動的方向,速度則須同時提及移動的方向;在物理學,速度代表一個向量,而速率只是向量的長度(絕對值)。例如:有兩輛汽車,在同一時間內進行相等距離的移動,但是一輛向東行,一輛向北行,因為物體移動的方向不同,只能說其速率相等,而不能說其速度相等。所以,速率和速度代表的意義是不同的。

學童此時尚無法區分速率和速度,所以教學時不必說明,以免混淆兒童們的概念。

分析64年版和82年版國小數學課程標準和部編本交才可以發現:若考量兒童經驗,則以速度稱之,若考量學理意義,則以速率稱之。可以確定的是,在此階段的教學重點只涉及物體宜動得快慢,而不涉及物體移動的方向。

版 本

課程標準的綱要

教學單元的名稱

64年版

速度的認識

速率

82年版

速率的認識

速度


所以在教學中所說的「速度」是採生活用語,不是物理學上所說的速度。

2.速率的直接比較

二物體在同一時刻,同一地點開始移動,就其終點行為觀之,是誰先達到終點線(相同距離中比較時間)或是誰移動的距離比較長(相同時間中比較距離),這種直觀的比較不需要透過數字記錄來做判斷。

3.速率的間接比較

當二物體不能在同一時刻或同一起點開始移動,須藉數字記錄來判斷時,即是間接比較。

此時,學童要先透過教學活動瞭解:.物體一動不受是否為同一起點、同一時刻的影響,只要移動的距離一樣長,就可以在相同距離時,比較所花費的時間。.物體移動不受是否為同一起點、同一時刻的影響,只要物體移動的時間一樣長,也可以在相同時間下,比較所移動的距離。

4.時間、距離與速率(平均速率)

速率一般可用快、慢來描述。固定距離時,物體移動所花費時間較少,表示速率較快,花費時間較多表示速率較慢。固定時間時,物體移動距離較長,表示速率較快。距離較短表示速率較慢。

時間和距離是掌握速率的兩個要件,只知道距離不知道時間獲知到時間不知道距離是不能比較快慢。

距離和時間的平均值就是平均速率。通常需想成物體移動的每一段距離所花的時間一樣多,或想成每一段時間物體移動的距離一樣長。社會上習慣採用以時間為單位求算距離和時間的比,即採用「平均秒跑4公尺」的說法,當學生有測量運思的能力時,則可用「每秒跑4公尺」的說法。

每單位時間移動多少距離是平均速率的說法,平均速率可以簡稱為「速率」,即「距離÷時間=速率」。但課程的教學主張是交概念為先,所以不需出現公式。

有關由已知的速率和時間求出距離,或由已知的速率和距離求出時間的問題,是利用教學活動配合問題情境讓兒童經驗,並不出現「速率×時間=距離」、「速率÷距離=時間」的公式來解題。

5.秒速、分速和時速

秒速係指以秒為單位,平均每秒所移動的距離叫做秒速;分速則指以分為單位,平均每分所移動的距離叫做分速;而時速是以時為單位,平均每時所移動的距離叫做時速。

引導兒童用平均的想法來列出除法算式,除數是以秒、或分、或時做單位的,讓兒童察覺被除數代表的都是距離,除數代表的都是時間,商代表的都是速率。

有關秒速、分速和時速之間的換算和比較問題,要引導學童找到共同測量單位,以「秒」、「分」、或「時」為單位來進行解題。

6.速率的紀錄格式有三種:

1.時速是60公里(長度的想法)(口語)

2.速率是每小時60公里

3.速率是60公里/小時

通常我們問兒童時速是多少?兒童回答60公里是很正常的。所以我們問速率是多少?希望兒童能用第1、第2種方式描述,因第3種涉及兒童不熟悉的格式,故教學時不採用。

二、認知結構

1.採用生活用語的速率來代表速率

速率和速度是有區別的,但在兒童的生活中描述物體移動的快慢,都是以速度來稱之。配合兒童認知發展的課程在與成人溝通時,是以速率稱之,與兒童溝通時則以速度稱之。

課程小組建議的教學處理如下:

階段

用 語

概 念

備 註

小學

速度

物體移動的快慢。

生活用語

中學

速率

物體移動的快慢(只考慮距離)。

正式用語

 

速度

物體移動的快慢及方向(同時考慮距離和方向性)。

 

成人

速度或速率

知道速度和速率的差別,但溝通時不在意它的區別。

語意混用

2.涉及比例運思的速率問題

如果碰到不同距離比較時間或不同時間比較距離的問題,例如:移動100公尺費時25秒,與移動50公尺費時10秒,其比較快慢的解提策略有:

A型(以1秒為比較單位):

100÷25=4(公尺/秒)SV.50÷10=5(公尺/秒)

B型(以1公尺為比較單位):

25÷100=4/1(秒/公尺)SV.10÷50=5/1(秒/公尺)

C型(以100公尺為比較單位):

25秒SV.10×2=20(秒)

D型(以25秒為比較單位):

100公尺SV.50×25=125(公尺)

上述的解題策略只是就數學形式上的考量(不考慮體能狀況,而將生理狀況理想化),要能將物體在任何時段移動的速率看做一樣,沒又變化。所以,若該題情境是比較人類跑步的快慢,其解題方法表面合理,但與實情不合。因為跑800公尺所需的時間,社集體能狀況,不會是跑100公尺所需時間的8倍,所以在真實世界中不宜處理涉及人類體力的問題,除非在問題情境中,兒童可以認定是定速移動,則上述A、B、C、D型解題策略既合理又何時情。

求算單位時間移動多少距離的速度問題。力:平均1秒公尺。就是涉及比例運思的問題之一,這類問題要先假想成物體宜動得快慢保持一樣,才能求算平均,並算出單位時間移動的平均距離。求算平均速率是為對物體移動作全程狀況的描述,目的不在比較快慢。

結語

配合兒童認知發展教學的數學課程不僅要在教學方法上轉變,更要有符合兒童本位的教材設計。時間和速率教材在以往只當做是「量與實測」教材的一部份,未就其不能藉感官表徵、實物上不存有的性質,區分出為工具量;所以,教學內容和活動重點有不同的設計,可在本文的數學結構和認知結構中看出設計理念。

配合工具量教材架構呈現的時間教材,則可藉以瞭解教學活動進行的流程。至於是否能呼應理論基礎、改進教學現況,則盼諸位先進給予指正、國小同仁實際教學後多多反意見。

 

參考文獻

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