多項   商高定理   


商高定理一般而言,西方國家都用「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean Theorem)此名稱。在我國,有時簡稱其為「畢氏定理」,有時亦用「商高定理」、「勾股定理」「勾股弦定理」、或「陳子定理」等名稱。這個定理名稱之所以如此多元化,實有其歷史的淵源。

西方國家普遍相信「畢氏定理」是於公元前560年到公元前480年間由畢達哥拉斯發現的,或者至少是由他證明的。然而,近代數學史家對這個推論表示存疑(梁,民84)。目前已有明確的證據顯示,畢達哥拉斯數(滿足之整數)的出現年代比畢達哥拉斯活著的年代早了一千多年。在1945年Neugebauer等人詮釋了一塊巴比倫泥板,發現巴比倫人在約公元前1900-1600年時已經知道至少15組 畢達哥拉斯數。這塊泥板是由普林頓(G.A.Plimpton)收藏的第322號泥板,目前存放在哥倫比亞大學。雖然有許多證據顯示 畢達哥拉斯並非此定理的創始者,然而因為早期許多哲學家、數學史家等推斷畢達哥拉斯發現了這個定理,故冠以「畢達哥拉斯定理」之石,許多人已經習慣了這個名稱,是以此名稱仍沿用至今。

到底畢達哥拉斯有沒有發現這個定理呢?因為畢氏曾到過巴比倫,有可能是由那兒學來的。而由畢氏欣喜若狂的情形來看,也有可能是他自己發現的,或是找到了證明的方法。所以,畢達哥拉斯是否發現此定理,目 前並無定論(梁,民84)。

在我國,有關「商高定理」的記載,最早出現在(周 算經)的趙君卿注中。卷上一開始就敘述了如下的 一段:「昔者周公問於商高曰,竊聞乎大夫善數也,請問古者包犧接立周天曆度,夫天不可階而升,地不得尺寸而度,請問數安從出,商高曰數之法出於圓方,圓出於方,才出於矩,矩出於九九八十一,故折矩,以為句廣三,股四,徑隅五,既方之外半其一矩,環而其盤得三四五,兩矩共長二十有五是謂積矩,故禹之所以治天下者,此數之所生也,…」。由上述可知., 商高(西周時大夫,約公元前1100年)已提到句(讀同勾)三、股四、弦五。且商高認為早在禹垂治天下(治水)時即利用了這個性質。因為商高所提到的句三、股四、弦五是我國最早有關「商高定理」的記載,故有些人認為此定理應稱為「商高定理」。

然而商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係,即連長為3,4,5的直角三角形其邊長的關係滿足3'+4'=5'。但是並無觸及一般性的「商高定理」。有關一般性「商高定理」的最早記載出現在(周0算鏗)中對於陳子的敘述。在文中有一段如下的描述:「昔者榮方問於陳子 ,曰今者竊聞夫子之道,知日之高大,光之所照,一日所行,遠近之數。人所望見,四極之窮,列星之宿,若求邪至日者,以日下為句,高為股,句股各自乘,并而開方除之,得邪至日,從畢所旁至日所十萬里。」這段敘述除了指出三角測量的方法外,並提到「商高定理」的一般性原則「句股各自乘,并而開方除之」。因為這段敘述,所以有人認為此定理應稱為「陳子定理」。

也有一些人認為不知到底是由誰最先發現此定理,故不如避開人名,直接以「勾股弦定理」稱之,而有勾股必有弦,故亦稱為「勾股定理」。

內容

一般而言對於「商高定理」有三種不同的表達方式(梁,民84):「在直角三角形斜邊上的正方形等於直角邊上的兩個正 方形。

在此,「等於」意指「拼補相等」,所謂拼補相等指的是將直角邊上的兩個正方形經過剖分,再合併拼湊成斜邊上的正方形而言。此種說法,完全沒有從面積或數的觀點出發,而是只考慮圖形經過切割拼湊後的全等問題。為了區別於別種不同思維下的「商高定理」,也有學者專家稱此為「形的勾股定理」。

2﹒直角三角形直角邊上的兩個正方形面積之和等於斜邊上正方形的面積。雖然我們常用數量相等來表示面積相等的概念, 但是,面積是幾何概念,且不一定要用數的計算才能判定面積的相等。所以,此種「商高定理」的概念可以說介於純粹的形及純粹的數之間。

3﹒直角三角形斜邊長度的平方等於兩個直角邊長度平方和

這種「商高定理」強調長度的平方,並未涉及長度平方所代表的幾何意義。較強調單純的數的運算,故亦有人稱其為「數的勾股定理」證明「畢氏定理」的證明方法有許多種,目前已知有人收集到約370種之多(梁,民84;曹,民85)。這些證明,有些可以看成很嚴密的證明,有些也可看成是「拼補相等」的證明。茲舉下列數例簡述之:「幾何原本的證明(第一卷命題47)(梁,民84; Euclid.1992):

在直角三角形中,直角所對的邊上的正方形等於夾直角南邊上正方形的和。

歐幾里得的證法可簡述如下:如下圖1-1,

image78.gif (3213 bytes)

(面積而言,同底、平行線)

(面積而言,同底、平行線)

同理可得

故得證。

 

圖1-1注:歐幾里得是不區分全等與面積相等這兩個概念的。這兩種情形,他都用「相等」來敘述(Euclid﹒1992)。2﹒趙爽(趙君卿)的證法(梁,民84;錢,1981):

雖然在《周算經》中有陳子對一般性「商高定理」的描述,然而正式提出證明的應屬趙君卿。他在注中所提之「勾股圓方圖」的一部分,給出了「商高定理」的證明。其敘述如右:「勾股各自乘併之為弦實,開方除之即弦,案弦圖又可以勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,如差實,亦成弦實。」趙君卿一開始便點出了「商高定理

」的一般性敘述:勾(短邊)、股(長邊)各自乘, 自乘即平方,併之即"和起來",為弦(斜邊)實, 實即面積(或平方)。接下來他給出了一個證明。因為所附的圖已失傳,故後人根據所述證明,補繪了一圖如下圖1-2(a)(錢,1981):

 

 

 

圖1-2(a) 圖1-2(b)

依此圖(案弦圖),將直角三角形互相垂直的兩邊相乘(以勾股相乘),得到此朱色三角形面積的二倍(為朱實二),此數的兩倍是朱色三角形面積的四倍(倍之為朱實四),把(股一勾)的平方當成中間黃色正方形的面積(以勾股之差自相乘為中黃實),這個面積也稱為差實,把它加到剛才算出的朱色三角形面積的四倍上(加差實),就得到直角三角形斜邊的平方(亦成弦實)。這個證明以數學式子來說,即2ab+={如圖1-2(b)}。

3.畢氏學派的證法:

畢氏學派曾研究鋪地磚的問題。他們由如圖1-3(a)這類等腰直角三角形的問題觀察出直角邊上的兩個正方形合起來正好是斜邊上的正方形。從此推出非等腰的情形。如圖1-3(b),將以a+b為邊的正方形中之四個小直角三角形重新排至如圖1-3(c)中的位置,則可看出正方形Ⅲ=正方形Ⅰ十正方形Ⅱ平行四邊形,得證。

圖1-3(a)

圖1-3(b)

圖1-3(c)

4.Thabit ibn Qurra的證法:

Thabit ibn Qurra(約西元826-901)是阿拉伯數學家。他的方法是:對於任意給的直角三角形,以它的直角二邊為邊長的二正方形,可被切割後重新拼湊成以斜邊為邊長的正方形。

image81.gif (915 bytes) 如圖1-4,任給直角三角形ABC,延長至D,image82.gif (918 bytes)image83.gif (920 bytes)使得=b,完成正方形ACDH;延長至E,使得image84.gif (925 bytes)image85.gif (847 bytes)image86.gif (917 bytes) =a,ΔBEF ΔACB,完成正方形GDEF;延長image87.gif (906 bytes)至I,使得 =b;則將ΔBEF移至ΔAHI,將ΔACBΔIGF移至ΔIGF即得證。

圖1-4

畢氏數(Phythogotean triple)

image88.gif (1019 bytes) 畢氏數指的是滿足不定方程 的正整數解

「畢氏定理」的代數表示法為

image89.gif (1019 bytes) ……(1)

其中x與y表示直角三角形的二直角邊的長度,z表示斜邊的長度。通常我們把方程式(1)的正整數解(x,y,z)稱為畢氏數(或畢氏三元數、畢氏組數、勾股數)。

古埃及人及巴比倫人都提出了一些滿足(1)式的解。例如,約公元前2160-1700年時,埃及人即用試位法算image90.gif (981 bytes)image91.gif (1335 bytes)出當時的解為(6,8,10)。而巴比倫人也於約公元前1700年時,列出了15組畢氏數。故有些數學史家推論巴比倫人已掌握了一般的「畢氏定理」及畢氏數的公式(錢,1981)。

畢達哥拉斯曾提出(1)式的一類解公式:image91.gif (1335 bytes) 。我們可以很容易的看出如(8,15,17)這組解就不是上面的形式,所以可知上面的型式不包含(1)式的所有解。柏拉圖(公元前421-前347)提出了image92.gif (1137 bytes)另一類解公式: 。同樣的,如(5,12,13)這組解就不是這種公式的型式。丟番圖提出了求出image88.gif (1019 bytes)的有理數解之一般性方法。大約同時期,劉徽(梁,民84)在《九章算術》第九章《勾股)中指出image93.gif (1383 bytes),其中m,n是互質的奇數。除此,他並作圖証明之。由此可見,劉徽已掌握了式(1)的一般解。直至七世紀初,(1)式的完整解答才由印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta,西元598-665)於約西元628年,明確地給出。

現在我們就來看看畢氏數的全部解。因為若(x,y,z)為image94.gif (976 bytes)畢氏數,則 ,(kx,ky,kz)亦為畢氏數。因此不失一般性,可令欲求的畢氏數滿足(x,y,z)=1。如此的畢氏數稱為(1)式的原解(或稱基本畢氏數、基本勾股數)。依此原則,有如下的定理:

image95.gif (1019 bytes)image96.gif (976 bytes) 定理:設 且(x,y,z)=1,若 ,則存在

互質且奇偶性互異的自然數m,n,使得

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m>n

証明:欲証明x,y必為一奇一偶。

image98.gif (1019 bytes) 若x,y都是偶數,則 必為偶數,此與

(x,y,z)=1之假設不符。

若x,y都是奇數,則可令

x=2m+l,y=2n+l

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image100.gif (874 bytes)則 ≡2(mod4),但偶數的平方與0同餘(模4)奇數的平方與1同餘(模4),不可能有數的平方與2同餘(模4)。故x,y不可能同為奇數。

由上可知x,y必為一奇一偶。不失一般性,設y為偶數,則x,z為奇數,

image101.gif (1220 bytes) …………

欲証:(z-x,z+x)=2 設(z-x,z+x)=d,則d|z-x且d|z+x得d|2z且d|2x 因為x,z為奇數,所以d|2則d=l or 2, 因為z-x,z+x皆為偶數,所以d=2。

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